Hardy-Sobolev类上的Bohr型不等式

An Inequality of Bohr Type on Hardy-Sobolev Classes

中文关键词:  Hardy-Sobolev 类  函数的谱  Bohr 型不等式

英文关键词:Hardy-Sobolev classes  the spectrum of a function  an inequality of Bohr type.

中文摘要:

      设 $\beta>0$, $S_{\beta}:=\{z\in {\mathbb C}:|{\rm Im}\,z|<\beta\}$为复平面内的一个带形区域. 对于整数 $r\geq 0$, 设 $H_{\infty,\beta}^{r}$ 表示那些在${\mathbb R}$ 上取实值、在 $S_{\beta}$ 内解析并满足限制 $|f^{(r)}(z)|\leq 1$, $z\in S_{\beta}$ 的函数 $f$ 所组成的 函数类. 对于 $\sigma>0$, 用 $B_{\sigma}$ 表示在 $(-2\pi\sigma,2\pi\sigma)$ 内有谱的函数 $f$ 所组成的函数类. 设 $B_{\sigma}^{\perp}$为在 $(-2\pi\sigma,\, 2\pi\sigma)$ 内没有谱的函数 $f$ 所组成的函数类.我们证得 Bohr 型不等式$$\|f\|_{\infty}\leq\frac{\pi}{\sqrt{\lambda}\Lambda\sigma^r}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k(r 1)}}{(2k 1)^r\sinh((2k 1)2\sigma\beta)}\,, \qquad f\inH_{\infty,\beta}^{r}\cap B_{\sigma}^{\perp},$$其中 $\lambda\in (0, 1)$, $\Lambda$ 和 $\Lambda'$ 分别为以 $\lambda$ 和$\lambda'=\sqrt{1-\lambda^2}$ 为模的第一类完全椭圆积分, 并且 $\lambda$ 满足$$\frac{4\Lambda\beta}{\pi\Lambda'}=\frac{1}{\sigma}.$$上述不等式中的常数是精确的.

英文摘要:

      Let $\beta>0$ and $S_{\beta}:=\{z\in {\mathbb C}:|{\rm Im}\,z|<\beta\}$ be a strip in the complex plane. For an integer $r\geq 0$, let $H_{\infty,\beta}^{r}$ denote those real-valued functions $f$ on ${\mathbb R}$, which are analytic in $S_{\beta}$ and satisfy the restriction $|f^{(r)}(z)|\leq 1$, $z\in S_{\beta}$. For $\sigma>0$, denote by $B_{\sigma}$ the class of functions $f$ which have spectra in $(-2\pi\sigma, 2\pi\sigma)$. And let $B_{\sigma}^{\perp}$ be the class of functions $f$ which have no spectrum in $(-2\pi\sigma, 2\pi\sigma)$. We prove an inequality of Bohr type $$\|f\|_{\infty}\leq\frac{\pi}{\sqrt{\lambda}\Lambda\sigma^r}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k(r 1)}}{(2k 1)^r\sinh((2k 1)2\sigma\beta)}\,, \qquad f\in H_{\infty,\beta}^{r}\cap B_{\sigma}^{\perp},$$ where $\lambda\in (0, 1)$, $\Lambda$ and $\Lambda'$ are the complete elliptic integrals of the first kind for the moduli $\lambda$ and $\lambda'=\sqrt{1-\lambda^2}$, respectively, and $\lambda$ satisfies $$\frac{4\Lambda\beta}{\pi\Lambda'}=\frac{1}{\sigma}.$$ The constant in the above inequality is exact.