某些Ruzsa数$R_m$的新上界

The New Upper Bounds of Some Ruzsa Numbers $R_m$

中文关键词:  Erd\H{o}s-Tur\'{a}n 猜想  加法基  Ruzsa 数.

英文关键词:Erd\H{o}s-Tur\'{a}n conjecture  additive bases  Ruzsa numbers.

中文摘要:

      对$A\subseteq {\mathbf{Z}}_m$ 及$n\in {\mathbf{Z}}_m$,令$\sigma_A(n)$表示方程$n=x y, x,y\in A$的解数. 给定正整数$m$,正整数$r$满足条件:存在$A\subseteq {\mathbf{Z}}_m$使得$A A={\mathbf{Z}}_m$且$\sigma_A(n)\leq r$. 令$R_m$为满足上述条件的最小正整数$r$. 最近,陈永高证明了所有的$R_m\leq 288$. 在本文中,我们获得了某些特殊类型的$R_{kp^2}$的新上界.

英文摘要:

      For $A\subseteq {\mathbf{Z}}_m$ and $n\in {\mathbf{Z}}_m$, let $\sigma_A(n)$ be the number of solutions of equation $n=x y, x,y\in A$. Given a positive integer $m$, let $R_m$ be the least positive integer $r$ such that there exists a set $A\subseteq {\mathbf{Z}}_m$ with $A A={\mathbf{Z}}_m$ and $\sigma_A(n)\leq r$. Recently, Chen Yonggao proved that all $R_m\leq 288$. In this paper, we obtain new upper bounds of some special type $R_{kp^2}$.