具有性质$b_1$空间的乘积性

On Products of Property $b_1$

中文关键词:  $\sigma$-积  Tychonoff 乘积  性质$b_1$  遗传性质$b_1$.

英文关键词:$\sigma$-product  Tychonoff products  property $b_1$  hereditarily property $b_1$.

中文摘要:

      本文证明: (1) 设 $X$=$\sigma\{X_{\alpha}:\alpha\in A\}$ 是 $\left| A\right|$-仿紧 (遗传 $\left|A \right|$-仿紧)的, 如果 ${\rm \{ }X\-\alpha: \alpha \in A {\rm \} }$ 的每个有限子集具有性质 $b_1$(遗传性质 $b_1$), 则 $X$ 也具有性质 $b_1$ (遗传性质 $b_1$). (2) 设$X$ 是 P-空间且 $Y$ 是度量空间, 则 $X\times Y$ 具有性质 $b_1 $当且仅当 $X$ 具有性质 $b_1 $. (3) 设 $X$ 是强零维的紧空间, 则$X\times Y$ 具有性质 $b_1 $ 当且仅当 $Y$ 具有性质 $b_1$.

英文摘要:

      In this note, we present that: (1)~Let $X$=$\sigma\{X_{\alpha}:\alpha\in A\}$ be $\left| A \right|$-paracompact (resp., hereditarily $\left| A \right|$-paracompact). If every finite subproduct of ${\rm \{ } X\-\alpha: \alpha \in A {\rm \} }$ has property $b_1$ (resp., hereditarily property $b_1$), then so is $X$. (2)~Let $X$ be a P-space and $Y$ a metric space. Then, $X\times Y$ has property $b_1 $ iff $X$ has property $b_1 $. (3)~Let $X$ be a strongly zero-dimensional and compact space. Then, $X\times Y$ has property $b_1 $ iff $Y$ has property $b_1$.